Baumann wurde 1945 in Würzburg geboren. Bischof Josef Stangl weihte ihn am 28. Juni 1970 in Würzburg zum Priester. Danach kam Baumann zunächst als Aushilfe nach Humprechtshausen und Fladungen, ehe er Kaplan in Mömbris, Obernburg und Schweinfurt-Christkönig wurde. Nachdem er bereits ab 1975 Jugendseelsorger für das Dekanat Schweinfurt-Stadt war, wurde er 1977 zunächst Kooperator des Diözesanjugendpfarrers, 1978 Diözesanjugendpfarrer und Domvikar. 1984 wurde Baumann zum Pfarrer von Kitzingen-Sankt Johannes ernannt. Von 1985 bis 1995 war er auch stellvertretender Dekan, von 1987 bis 1995 auch Schulbeauftragter für das Dekanat Kitzingen. 1994 ernannte ihn Bischof Dr. Paul-Werner Scheele zusätzlich zum Pfarrer von Sulzfeld am Main. 1995 wurde Baumann Dekan des Dekanats Kitzingen. Dieses Amt übte er bis zu seinem Wechsel nach Würzburg im Jahr 2008 aus und war einer der vier Regionalsprecher. 2002 übernahm er zusätzlich die Pfarrei Biebelried und war von 2005 bis 2007 auch Administrator von Dettelbach, Bibergau, Effeldorf und Euerfeld, ab 2007 von Mainstockheim. In Kitzingen ließ er die Kirchen Sankt Johannes und Sankt Vinzenz sowie die Kapuzinerkirche renovieren, außerdem die Gotteshäuser in Buchbrunn, Mainstockheim und Repperndorf. 2008 ernannte Bischof Dr. Friedhelm Hofmann Baumann zum Regens des Priesterseminars und zum bischöflichen Vertreter des Klerusvereins der Diözese Würzburg. Baumann war auch Mitglied im Diözesanpastoralrat, in der Ökumenekommission, im Priesterrat, einer der beiden Priester im Sprecherrat der pastoralen Berufsgruppen und seit 2012 stellvertretender Vorsitzender der Sankt Kilianskonfraternität. Außerdem war er Mitglied im Beirat der Deutschen Regentenkonferenz und vertrat den Würzburger Priesterrat in der Arbeitsgemeinschaft der Priesterräte Deutschlands. Zudem gehörte Baumann zum Vergabeausschuss der Aktion PRIM, die sich um die Vergabe von Spenden zur Unterstützung von Priestern in Afrika, Asien und Ozeanien kümmert. Papst Franziskus ernannte ihn 2015 zum Monsignore. 2016 ging Baumann in den Ruhestand. Seitdem hat er einen Seelsorgsauftrag für die Katechumenatgruppen in den Dekanaten der Region Würzburg. Von 2019 bis September 2020 war er zudem Pfarradministrator der Pfarreiengemeinschaft „Heiligkreuz und Sankt Elisabeth, Würzburg“ sowie der Pfarrei Würzburg-Sankt Burkard.
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